- Поверхностный интеграл
-
Содержание
Поверхностный интеграл первого рода
Пусть Σ - поверхность в пространстве R3, тогда интеграл называется поверхностным интегралом первого рода по поверхности Σ. Если поверхность задана как {x, y, z(x,y)}, то
Поверхностный интеграл по поверхности Σ, взаимнооднозначно проецируемой на плоскость xOy вычисляется сведением его к двойному интегралу по площадке Dxy:
Последний, в свою очередь, решается приведением к повторному интегралу. Поверхностный интеграл первого рода существует, если поверхность ограничена, а функция непрерывна на замкнутой поверхности.
Свойства
1. Линейность:
2. Аддитивность:
3. Монотонность:
- если f > g, то
- для если , то
4. Теорема о среднем для непрерывной функции f и замкнутой ограниченной поверхности Σ:
Поверхностный интеграл второго рода
Поверхностным интегралом второго рода от функции f называется каждый из интегралов:
Связь между поверхностным интегралом второго и первого рода: , где ν — единичный вектор нормали поверхности Σ, i — орт.
Свойства
Совпадают со свойствами интеграла первого рода, добавляются свойства, связанные с ориентацией поверхности. При замене ориентации на противоположную поверхностный интеграл второго рода меняет знак.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.